cho \(x,y,z\ge0;x+y+z=1\)
chứng minh: \(0\le xy+yz+xz=2xyz\le\dfrac{7}{27}\)
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) Chứng minh \(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy\left(1-z\right)+yz\left(1-x\right)+zx\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Mặt khác do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow1=x+y+z\ge3x\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{3}\)
\(P=x\left(y+z\right)+yz\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+yz\left(1-2x\right)\)
\(P\le x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(y+z\right)^2\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(1-x\right)^2\left(1-2x\right)\)
\(P\le\frac{-2x^3+x^2+1}{4}=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}-\frac{7}{27}+\frac{7}{27}\)
\(P\le-\frac{\left(1-3x\right)^2\left(6x+1\right)}{108}+\frac{7}{27}\le\frac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Cho \(\left\{\begin{matrix}x\ge0;y\ge0;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng : \(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}\)
GIÚP MÌNH NHÉ, MẶC DÙ TẾT NHÉ
Lời giải:
Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\)
Theo BDDT Schur ta có \(xyz\geq (x+y-z)(z+x-y)(y+z-x)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)\)
\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\)
Do đó \(A=xy+yz+xz-xyz\leq xy+yz+xz-\frac{8}{9}(xy+yz+xz)+\frac{2}{9}=\frac{xy+yz+zx}{9}+\frac{2}{9}\)
Theo AM-GM dễ thấy \(1=(xy+yz+xz)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)
Do $x,y,z\geq 0$ nên
\(A=xy(1-z)+yz(1-x)+xz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz\geq 0\)
Dấu bẳng xảy ra khi \((x,y,z)=(0,0,1)\) và các hoán vị của nó
Cho 3 số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện: x+y+z=1. Chứng minh rằng:
\(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}\)
cho 3 số nguyên dương 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤1 chứng minh:
\(\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}\)≤2
Cho x; y là các số không âm, z\(\le\) 0 thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 1
Chứng minh: \(\dfrac{x}{1-yz}+\dfrac{y}{1-xz}-\dfrac{z}{1+xy}\ge1\)
cho x,y,z thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=2\\xy+yz+xz=1\end{matrix}\right.\)
chứng minh \(\dfrac{-4}{3}\le x,y,z\le\dfrac{4}{3}\)
https://olm.vn/hoi-dap/detail/227981379332.html
Bạn tham khảo ở đây nhé.
Bất đẳng thức chọn HSG nhé
Cho x\(\ge\)0,y\(\ge\)0,z\(\ge\)0 và x+y+x=1.Chứng minh rằng xy+yz+xz-2xyz\(\le\)\(\frac{7}{27}\)
0\le xy+yz+zx-2xyz\le \frac{7}{27} - Diễn đàn Toán học
Cho x+y+z = 1. Chứng minh : xy+yz+xz - 2xyz <= 7/27
Cho 3 số dương 0\(\le x\le y\le z\le\)1. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 . Bạn check thử cái cách "Bài này lớp 7 dư sức giải..." nhé! Mình đọc nhiều đề thi hsg để tự luyện thấy lời giải của họ như vậy (không có chỗ dấu "=" xảy ra nha,cái chỗ này mình tự thêm) .Không biết đúng hay sai.Còn mấy cách kia là mình tự làm nhé!